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この項の問題点
概要
EMアルゴリズムによるパラメータ推定

この項の問題点

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概要

$\begin{eqnarray} p(X=k , Y=y \mid \theta) &=& p(X=k \mid \theta) p(Y=y \mid X=k , \theta) \end{eqnarray}$

EMアルゴリズムによるパラメータ推定

EMアルゴリズムの $Q(\theta' \mid \theta)$ は以下の形。

$\begin{eqnarray} Q(\theta' \mid \theta) &=& \sum_{t=1}^{T} \sum_{k=1}^{K} p(k \mid y_t , \theta) \log p(k, y_t \mid \theta') \\ &=& \sum_{t=1}^{T} \sum_{k=1}^{K} p(k \mid y_t , \theta) \left( \log p(k | \theta') + \log p(y_t \mid k , \theta') \right) \\ &=& \sum_{t=1}^{T} \sum_{k=1}^{K} p(k \mid y_t , \theta) \log p(k \mid \theta') + \sum_{t=1}^{T} \sum_{k=1}^{K} p(k \mid y_t , \theta) \log p(y_t \mid k , \theta') \end{eqnarray}$

$p(k \mid \theta)$ はcategorical distributionにしたがうとします。
（categorical distributionはBernoulli distributionの拡張です。）
つまり $p(k \mid \theta) = \pi_k$ と表し、 $\sum_{k=1}^{K}\pi_k = \sum_{k=1}^{K}p(k \mid \theta) = 1$ を満たします。

Lagrange multiplierを用いて最大化を行い更新式を求めます。

$\begin{eqnarray} &&\frac{\partial}{\partial {\pi'}_k} \left\{ Q(\theta' \mid \theta) + \lambda \left( \sum_{k'=1}^{K} \pi_{k'} - 1 \right) \right\} \\ &&= \frac{\partial Q(\theta' \mid \theta)}{\partial {\pi'}_k} + \lambda \\ &&= \frac{\partial}{\partial {\pi'}_k} \left\{ \sum_{t=1}^{T} \sum_{k'=1}^{K} p(k' \mid y_t , \theta) \log p(k' \mid \theta') \right\} + \lambda \\ &&= \frac{1}{{\pi'}_k} \sum_{t=1}^{T} p(k \mid y_t , \theta) + \lambda \\ &&= 0 \end{eqnarray}$

$\lambda$ を直接求めてもよいですが、単純に $\sum_{k=1}^{K} {\pi'}_k = 1$ となるように正規化すればよいです。

$\begin{eqnarray} && {\pi'}_k \propto \sum_{t=1}^{T} p(k \mid y_t , \theta) \end{eqnarray}$

$p(y \mid k , \theta)$ が多次元正規分布(multivariate normal distribution)の場合を考えます。
つまりGaussian mixtureの時です。

$y$ はベクトルで表現し、 $\mu_k$ と $\Sigma_k$ はそれぞれ、平均ベクトルと共分散行列です。

$\begin{eqnarray} && p(y \mid k , \theta) = {\cal N}(y \mid \mu_k , \Sigma_k) = \frac{1}{(2\pi)^{D/2} \mid \Sigma_k \mid ^{1/2}} \exp \left(- \frac{1}{2} (y-\mu_k)^{\rm T} \Sigma_k^{-1} (y-\mu_k) \right) \\ && \log p(y \mid k , \theta) = -\frac{D}{2} \log(2\pi) -\frac{1}{2} \log \mid \Sigma_k \mid -\frac{1}{2} (y-\mu_k)^{\rm T} \Sigma_k^{-1} (y-\mu_k) \end{eqnarray}$

平均と共分散、それぞれについて更新式を求めます。
微分についての詳しい説明は以下を参照してください。
See:http://en.wikipedia.org/wiki/Estimation_of_covariance_matrices
See:http://www.cs.berkeley.edu/~pliang/cs281a/recitation-0924.pdf(PDF)

$\begin{eqnarray} \frac{\partial \log p(y \mid k , \theta)}{\partial \mu_k} &=& \frac{\partial}{\partial \mu_k} \left\{ -\frac{1}{2} (y-\mu_k)^{\rm T} \Sigma_k^{-1} (y-\mu_k) \right\} \\ &=& (y-\mu_k)^{\rm T} \Sigma_k^{-1} \end{eqnarray}$

$\begin{eqnarray} \frac{\partial Q(\theta' \mid \theta)}{\partial {\mu'}_k} &=& \frac{\partial}{\partial {\mu'}_k} \left\{ \sum_{t=1}^{T} \sum_{k'=1}^{K} p(k' \mid y_t , \theta) \log p(y_t \mid k' , \theta') \right\} \\ &=& \sum_{t=1}^{T} p(k \mid y_t , \theta) (y_t-{\mu'}_k)^{\rm T} \Sigma_k^{-1} \\ &=& 0 \end{eqnarray}$

$\begin{eqnarray} {\mu'}_k = \frac{\sum_{t=1}^{T} p(k \mid y_t , \theta) y_t}{\sum_{t=1}^{T} p(k \mid y_t , \theta)} \end{eqnarray}$

$\begin{eqnarray} \frac{\partial \log p(y \mid k , \theta)}{\partial \Sigma_k^{-1}} &=& \frac{\partial}{\partial \Sigma_k^{-1}} \left\{ -\frac{1}{2} \log \mid \Sigma_k \mid -\frac{1}{2} (y-\mu_k)^{\rm T} \Sigma_k^{-1} (y-\mu_k) \right\} \\ &=& \frac{1}{2} \Sigma_k -\frac{1}{2} (y-\mu_k) (y-\mu_k)^{\rm T} \end{eqnarray}$

$\begin{eqnarray} \frac{\partial Q(\theta' \mid \theta)}{\partial {\Sigma'}_k^{-1}} &=& \frac{\partial}{\partial {\Sigma'}_k^{-1}} \left\{ \sum_{t=1}^{T} \sum_{k'=1}^{K} p(k' \mid y_t , \theta) \log p(y_t \mid k' , \theta') \right\} \\ &=& \sum_{t=1}^{T} p(k \mid y_t , \theta) \left\{ \frac{1}{2} {\Sigma'}_k -\frac{1}{2} (y_t-{\mu'}_k) (y_t-{\mu'}_k)^{\rm T} \right\} \\ &=& 0 \end{eqnarray}$

$\begin{eqnarray} {\Sigma'}_k = \frac{\sum_{t=1}^{T} p(k \mid y_t , \theta)(y_t-{\mu'}_k) (y_t-{\mu'}_k)^{\rm T}}{\sum_{t=1}^{T} p(k \mid y_t , \theta)} \end{eqnarray}$

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最終更新：2010年01月21日 07:24